R=QQ[r,c,s,S,x,y, MonomialOrder=> Eliminate 4]
I = ideal(r-1-2*S, c+2*S^2-1, y-r*s, x-r*c, 1-c^2-s^2)
gb I

i5 : flatten entries gens gb I

       6     4 2     2 4    6     4      2 2     4     3       2     2    2    
o5 = {x  + 3x y  + 3x y  + y  - 6x  - 12x y  - 6y  + 8x  + 8x*y  - 3x  + y , 2c
     ---------------------------------------------------------------------------
             2    2                          4     2 2    4    3      2     2  
     - 4S + x  + y  - 3, r - 2S - 1, 2s*y - x  - 2x y  - y  - x  - x*y  + 5x  +
     ---------------------------------------------------------------------------
       2                    4     2 2    4     2     2                        
     5y  - 3x, 4S*x - 4S + x  + 2x y  + y  - 5x  - 5y  + 6x - 2, 2s*x - 4S*y +
     ---------------------------------------------------------------------------
      2     3           2    5     3 2      4    4     2 2    4     3       2  
     x y + y  - 3y, 4S*y  - x  - 2x y  - x*y  - x  - 2x y  - y  + 5x  + 5x*y  -
     ---------------------------------------------------------------------------
       2     2    2         2    2                      2    4     2 2    4  
     3x  + 3y , 4S  + 4S - x  - y  + 1, 2s*S + s - y, 4s  + x  + 2x y  + y  -
     ---------------------------------------------------------------------------
       2     2
     6x  - 6y  + 8x - 3}

selectInSubring(1,gens gb I)

o7 = | x6+3x4y2+3x2y4+y6-6x4-12x2y2-6y4+8x3+8xy2-3x2+y2 |